傅里叶级数的定义（什么是傅里叶级数）

大家好,乐天来为大家解答以下的问题，关于傅里叶级数的定义，什么是傅里叶级数这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧！

1、傅里叶级数Fourier series一种特殊的三角级数。

2、法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。

3、从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。

4、在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。

5、他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。

6、傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。

7、在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

8、============================================================================================================傅里叶级数的公式给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数: x(t)=sum _{k=-infty}^{+infty}a_kcdot e^{jk(frac{2pi})t}(j为虚数单位)(1) 其中，a_k可以按下式计算: a_k=fracint_x(t)cdot e^{-jk(frac{2pi})t}(2) 注意到f_k(t)=e^{jk(frac{2pi})t}是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系(即它们都具有一个共同周期T)。

9、k=0时，(1)式中对应的这一项称为直流分量，k=pm 1时具有基波频率omega_0=frac{2pi}，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

10、 傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性:满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。

11、狄利赫里条件如下: 在任何周期内，x(t)须绝对可积; 在任一有限区间中，x(t)只能取有限个更大值或最小值; 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个之一类间断点。

12、 吉布斯现象:在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。

13、一个简单的例子是方波信号。

14、 三角函数族的正交性所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。

15、事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。

16、一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。

17、三角函数族的正交性用公式表示出来就是: int _^{2pi}sin (nx)cos (mx) ,dx=0;int _^{2pi}sin (mx)sin (mx) ,dx=0;(me n)int _^{2pi}cos (mx)cos (mx) ,dx=0;(me n)int _^{2pi}sin (nx)sin (nx) ,dx=pi;int _^{2pi}cos (nx)cos (nx) ,dx=pi; 奇函数和偶函数奇函数f_o(x)可以表示为正弦级数，而偶函数f_e(x)则可以表示成余弦级数: f_o(x) = sum _{-infty}^{+infty}b_k sin(kx);f_e(x) = frac+sum _{-infty}^{+infty}a_kcos(kx); 只要注意到欧拉公式: e^{jheta}= sin heta+jcos heta，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。

18、 广义傅里叶级数任何正交函数系{ phi(x)}，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个之一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程: int _^f^2(x),dx=sum _{k=1}^{infty}c^_ (4)， 那么级数sum _{k=1}^{infty} c_kphi _k(x) (5) 必然收敛于f(x)，其中: c_n=int _^f(x)phi_n(x),dx (6)。

19、 事实上，无论(5)时是否收敛，我们总有: int _^f^2(x),dx ge sum _{k=1}^{infty}c^_成立，这称作贝塞尔(Bessel)不等式。

20、此外，式(6)是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基{e_i}^_{i=1}，向量x在e_i上的投影总为 。

本文分享完毕，希望对大家有所帮助。